Echelon Form
출처: Gilbert Strang, Linear Algebra
Echelon form 은 한국어로 사다리꼴 행렬이라고도 불린다.
Lower triangular matrix 형태 중 하나이다.
Echelon form이 아닌 예시를 살펴보자.
\[\text{Basic example} \quad A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 & 2 \\ 2 & 6 & 9 & 7 \\ -1 & -3 & 3 & 4 \end{bmatrix}\]첫 번째 row의 $2$ 배 만큼 두 번째 row에 뺄셈하면 다음과 같다.
세 번째 row에도 똑같이 계산해준다.
여기서 세 번째 row를 두 번째 row의 $2$ 배 만큼 빼주어 $0$ 으로 만들어준다.
\[U = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]두 번째 row의 pivot 값인 $3$ 을 나눠주고, 두 번째 row의 $3$ 배 만큼 첫 번째 row에 빼줘서 식을 정리한다. 이를 Reduced row echelon form R 이라 한다.
\[\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = R\]MATLAB에서 다음과 같은 명령어로 표현한다. R = rref(A)
여기서 $R$ 이 identity matrix이고 full-pivot 하고 그 값이 $1$ 이고 그 위에 값들이 $0$ 이라면
rref(A) = I 즉, $A$ 가 invertible하다는 점을 알 수 있다.
일반해를 구해보자.
\[x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix}\]pivot column vs free column
RREF에서 pivot 위치가 중요하다.
pivot columns
- 1열 ($x_1$)
- 3열 ($x_3$)
free columns
- 2열 ($x_2$)
- 4열 ($x_4$)
행렬을 방정식으로 해석
\[x_1 + 3x_2 - x_4 = 0\] \[x_3 + x_4 = 0\]pivot 변수를 자유변수로 해석
\[x_2 = s,\quad x_4 = t\]그러면
\[\begin{align} x_1 &= -3s + t \\ x_3 & = -t \end{align}\]일반해 (vector form)
\[x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3s + t \\ s \\ -t \\ t \end{bmatrix}\]이를 linear combination 형태로 정리한다.
\[x = s\begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}\]- $s, t \in \mathbb{R}$
- 모든 해는 이 두 벡터의 linear combination
- 즉, null space의 basis가 2개
- nullity = 2
rank = 2
nullity = 2
(열 4개 = rank + nullity)
Rank-Nullity Theorem에 맞는다.